最早的数学著作是什么(几何原本和欧几里得的秘密)

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作者 | [日]永野裕之

译者 | 高钰洋

来源 | 摘自 《了不起的数学》,北京日报出版社,好玩的数学获授权转载。

令人惊叹的畅销书《几何原本》

你知道《几何原本》吗?它是古希腊数学家欧几里得的著作。《几何原本》编写于公元前300年左右,是世界上最早的数学教材,一直到100年前都被世界各国作为高中教材直接使用,是一部令人赞叹的畅销书。顺便一提,15世纪古登堡改进了活字印刷术后,出版的首本带有几何图形插图的书便是《几何原本》。

为何《几何原本》的传播范围如此之广、阅读量如此之大呢?

这是因为除了数学知识外,书中还记述了具有普适性的逻辑思维法。无论在质的方面,还是量的方面,《几何原本》都出色地展现了逻辑思维的魅力,至今未被超越。换言之,这本书是锻炼提升逻辑思维能力的不二选择。

毕达哥拉斯和苏格拉底(公元前469-公元前399)以及柏拉图等伟人让古希腊的文化和传统大放异彩,欧美国家继承了这一文化传统,自古就尊崇逻辑思维。学生在学校学习如何辩论也是为了锻炼逻辑思维能力。西方国家认为,相比悟性和灵感,能够说服周围的人、理解竞争对手的提议——具备逻辑思维能力,才是领导者不可或缺的资质。

欧几里得

《几何原本》和欧几里得的秘密

《几何原本》是一本怎样的书?

《几何原本》和欧几里得的秘密

我曾经想成为一名指挥家,为此曾赴奥地利游学。

尽管自己身处感性化的艺术领域,却切身感受到:在欧洲,无论多么有创意的演奏点子,不一定能受到大家欢迎。相较之下,能用语言将演奏思路说清楚更重要。所以,如果你想成为管弦乐团的顶级指挥家,逻辑思维能力是不可或缺的能力之一。

《几何原本》里写了什么内容?

在欧美,崇尚逻辑的文化根深蒂固,所以《几何原本》作为培养逻辑思维能力最理想的教科书,自然而然地成为精英们的必读书目。

书中介绍的逻辑思维法指的是,从定义和公理出发不断积累真命题的方法。一旦决定按照逻辑思维的方式思考问题便没有退路了。当然,也没有必要画蛇添足。

“定义”指的是语言的意思。如果讨论过程中所使用的语言语义不明或是容易招致误解,那么对话就无法产生条理清晰的效果。

例如,在讨论“孩子理科差”这一问题时,如果一方认为“孩子”指的是小学生,另一方认为是指包括初、高中生和大学生在内的所有学生,讨论自然不成立。

“公理”指的是约定俗成的事,“就某一前提达成共识,不需要证明”。

假设围绕电车内能否打电话的问题进行讨论,如果一方提出:“打电话的声音太吵了,会打扰到别人。”另一方可能会反驳道:“没有啊,和朋友们一起搭乘电车时,并不会被他们聊天的声音吵到,所以打电话时如果就像在跟面前的朋友聊天一样,就不会打扰到别人。”但如果讨论过程中提出“为什么不能打扰到别人呢”这样的问题,讨论就会停滞不前。这一讨论的前提就是双方都同意“不能打扰到别人”。

当然,不应该盲目地将尚有质疑空间的事当作前提,但为了推动讨论顺利进行,提高效率,则需要事先确认一点共识作为出发点,即“公理”。

“命题”指的是可以客观判断真伪(正确或错误)的判断句。

例如,由于我们无法客观判断“他很重”这句话的真伪,所以它不是命题。之所以无法判断,是因为每个人对于体重达到多少斤才算“重”都有不同的标准。而另一方面,我们可以客观判断“他的体重超过80公斤”的真伪(不管谁来判断结果都一样),所以它是命题。

假设有以下推理“证明”。

①X公司中年收入高于日本人平均年收入的公司职员都是40岁以上的人。

②X公司的员工A年收入很高。

③A的年龄是40岁以上。

我们可以通过网站搜索查到日本人的平均年收入(根据国税厅的民间工资实际情况调查,2018年约为441万日元)情况。

根据这一数据,我们可以客观判断①的真伪,故①是命题,先假设它为真命题。那么基于①和②就一定能得到③的结论吗?当然不能,因为我们无法客观判断②中所说的A的收入“高”是真还是假。

有可能A是20岁左右的年轻人,他的收入只是比同龄人的平均年收入(约300万日元)高,并没有达到日本人整体的平均年收入水平。因此不能得到③的结论。

定义→公理→命题→结论

不依靠悟性和灵感,而是通过不断地探究获得深刻的理解,这是逻辑思维的妙处所在,而能够支撑推理的只有“真命题”。通过非命题和错误的命题(假命题)推导的结论在逻辑上往往站不住脚。

据说,首先提出即“定义→公理→(真)命题→结论”这一逻辑思维方法的人是哲学家柏拉图。欧几里得谨记柏拉图的教诲,写下了以几何学为中心的数学教材,即《几何原本》。

逻辑思维方法

《几何原本》和欧几里得的秘密

不过,欧几里得在书中总结的并非他自己发现的新事实。他最大的贡献是,遵循柏拉图式的逻辑思维方法,清晰、有体系地记述了毕达哥拉斯及其学生研究发展的几何学等数学知识。

从这个意义上来讲,与其说欧几里得是独创的数学家,不如说他是一位出色的编者。

《几何原本》和欧几里得的秘密

欧几里得是编者团队的笔名?

《几何原本》以极其简单易懂的方式总结了众多当时混淆不清的数学定理(定理,是经证明为真的命题的陈述),是一部不朽的著作,但对于现代人来说依旧难以理解。

尽管欧几里得的著作给后世带来了深远影响,但我们对于他本人的生平却一无所知,甚至连他的生卒年月也不清楚。还有一种传言,“欧几里得”并不是一个人的名字,而是由多人组成的编者团队的笔名。

不过有一点可以肯定,无论欧几里得是个人姓名,还是团队名称,他或他们都是淡泊名利的人。和同一时代的其他“伟人”相比截然不同,除了数学的记述,关于他自身未留下任何信息。

那么究竟是出于怎样的动机,让欧几里得通过数学,一心记述逻辑思维的方法论,并将其汇总成共计13卷的《几何原本》呢?

也许欧几里得认为,逻辑思维是理解宇宙奥秘最好的方法。依靠悟性和灵感无法获悉的苍穹奥秘,人类总有一天可以借助逻辑的力量成功破解,也许欧几里得正是预知到了这一点,认为沽名钓誉是一件低俗的事情。

《几何原本》和欧几里得的秘密

                       
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