如何计算弧长(弧度计算弧长公式)

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计算半径为 r(>0) 的圆Cʳ上,弧度为θ的圆心角对应的弧长s是非常简单的事情,

由于,Cʳ的周长2πr实际上是弧度为2π的圆心角对应的弧长,所以得到,s=2πr⋅θ/2π=rθ。

但是,若R处于流形中,我们又该如何计算呢?

任意维度的欧氏空间 ℝⁿ 上的 恒等映射,都是 自身到自身 光滑同胚,于是 构成的流形。考虑流形 ℝ 到 ℝ² 的光滑映射,

弧度计算弧长公式(如何计算弧长)

它在 ℝ² 中的像就是 Cʳ。

我们在 ℝ 中取长度为θ开区间 V=(a, b) ,则 弧f(V)的长度就是所求s。如图1,将V平均分为v个小区间,令x₁=a,xᵥ₊₁=b,这些分割点的像 f(x₁),⋯,f(xᵥ₊₁) 同时也把弧f(V) 分为v个弧长分别为 s₁, ⋯, sᵥ 的小弧度,小弧长度之和就是s。

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图1:计算弧长

每个小区间 (xᵢ, xᵢ₊₁),都对应 导射 df|ₓᵢ ,它是 xᵢ 处切空间 Tℝₓᵢ 到 f(xᵢ) 处的切空间 Tℝ²的线性映射,又因为 Tℝₓᵢ就是ℝ, 所以 Δxᵢ=|xᵢ₊₁-xᵢ| 也就是 Tℝₓᵢ 中的切向量,故 df|ₓᵢ(Δxᵢ) 是 Tℝ²中的切向量,同时也是 Cʳ 在 f(xᵢ) 点 的切向量。

我们知道,当v趋近无穷大时,Δxᵢ趋近0,于是 弧长 sᵢ 趋近 弦长 ǁf(xᵢ₊₁)-f(xᵢ)ǁ,而此时,弦向量 f(xᵢ₊₁)-f(xᵢ) 也将逼近 df|ₓᵢ(Δxᵢ) ,于是有,

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进而,

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至此,问题关键转变为:求 Tℝ² 中向量 df|ₓ(1) 的长度,这个根据《矢量分析》的知识有,

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注:ǁxǁ 表示向量x的长度,也叫模或范数;< x, y> 表示向量x和y的内积(为了区别于二元坐标向量,本系列一律使用尖括号表示内积)。

于是,

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这与我们一开始计算出来的结果一致。

若将上面的流形从 ℝ² 替换为 S²,则光滑映射,

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在S² 中的像是 Cʳ,(当然,这里需要规定 r < 1)。

用类似上面的方法,同样可以得到 ⑴,所以关键是:求 TS² 中向量 df|ₓ(1) 的长度,这有,

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这与前面的结果相同,故,最终的弧长也和前面完全一样。


实际上,对于任何光滑流形 M 中的任何光滑曲线f: ℝ→M 的弧长s的计算,都可以 推导 出公式 :

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所以,问题的关键是:

  • 求空间 TM 中向量 df|ₓ(1) 的长度 ǁdf|ₓ(1)ǁ。

这样就将,流形中任意两点间的任意弧长的度量问题,转变为,对于切空间中切向量长度的度量问题。也即是说,我们只需要在切空间中定义切向量h的度量ǁhǁ,就可以通过 ⑴,在流形中诱导出弧长度量。而根据《矢量分析》的知识知道:

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因此,最终的关键是,要给M的每个点x对应的切空间TMₓ 定义一个内积 <⋅, ⋅>,更具体地说,我们需要定义一个从M到全体内积的光滑映射g,对于每个 x∈M,有 g(x) = <⋅, ⋅>:TMₓ×TMₓ→ℝ,而由《高等代数》的知识知道,<⋅, ⋅> 是TMₓ 上的二重线性函数,并且必须满足:

  • 对称性:<u, v> = <v, u>;
  • 正定型:<u, u> ≥ 0 且 <u, u> = 0 ⇔ u=0;

这个映射g就是大名鼎鼎的黎曼度量(riemannian metric),定义了黎曼度量的光滑流形称为黎曼流形(riemannian manifold)。

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图2:黎曼度量

我们知道线代空间加入内积就变成了内积空间,实际上所谓加入黎曼度量,就是以光滑的逐点方式,让流形上的每个切空间变成内积空间的过程。


内积可以很多,我们熟悉的的向量点乘:

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称为欧氏内积。一遍来说,对于流形M的不同的切空间可以定义不同的内积,只要保证黎曼度量g是光滑映射就可以了,但是我们也可以对所有切空间定义同一个内积,比如:让S²的所有切空间都是欧氏内积,实际上欧氏空间 ℝⁿ 自然就具有 欧氏内积,所以它当然也就是 黎曼流形了。

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